Cho a, b,c \(\in\) N* và S = \(\) ; x + y +z = 5Biết S1 = \(\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\) ; S2 = \(\frac{a}{b}x+\frac{c}{d}y\) ; S3 = \(\frac{a}{b}x+\frac{c}{d}y\)Chứng minh rằng S1 + S2 +...
Đọc tiếp
Cho a, b,c \(\in\) N* và S = \(\) ; x + y +z = 5
Biết S1 = \(\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\) ; S2 = \(\frac{a}{b}x+\frac{c}{d}y\) ; S3 = \(\frac{a}{b}x+\frac{c}{d}y\)
Chứng minh rằng S1 + S2 + S3 \(\ge\) 10.
\(\Rightarrow S_1+S_2+S_3=\left(\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\right)+\left(\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}y\right)+\left(\frac{a}{c}z+\frac{b}{c}y\right)\)
\(=\left(\frac{b}{a}x+\frac{a}{b}x\right)+\left(\frac{c}{b}y+\frac{b}{c}y\right)+\left(\frac{c}{a}z+\frac{a}{c}z\right)\)
\(=x\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+y\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+z\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
Ta có: Tổng hai số nghịch đảo luôn lớn hơn hoặc bằng 2 nên:
\(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\) ; \(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2\) ; \(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
\(\Rightarrow S_1+S_2+S_3\ge x.2+y.2+z.2=2.\left(x+y+z\right)=2.5=10\)
Vậy suy ra điều phải chứng minh.
tại sao là 2.5 vậy